Sistem Bilangan

BAB I

SISTEM BILANGAN

1.1. MACAM-MACAM BILANGAN

            Masing-masing bilangan dibatasi oleh basis atau radik (radix) yaitu banyaknya angka atau digit yang digunakan pada bilangan tersebut. dapat dilihat pada table 1.1

Tabel 1.1 Sistem bilangan dan Radiknya

Bil. Desimal	Biner	Oktal	Duodesimal	heksadesimal
Radik 10	Radik 2 (dgn 4 bit) D     C    B    A	Radik 8	Radik 12	Radik 16
0	0     0    0     0	0	0	0
1	0     0    0     1	1	1	1
2	0     0    1     0	2	2	2
3	0     0    1     1	3	3	3
4	0     1    0     0	4	4	4
5	0     1    0     1	5	5	5
6	0     1    1     0	6	6	6
7	0     1    1     1	7	7	7
8	1     0    0     0	0	8	8
9	1     0    0     1	1	9	9
10	1     0    1     0	2	T	A
11	1     0    1     1	3	E	B
12	1     1    0     0	4	1	C
13	1     1    0     1	5	2	D
14	1     1    1     0	6	3	E
15	1     1    1     1	7	4	F
16	0     0    0     0	8	5	0

LSB ( LEAS SIGNIFICANT BIT) = Digit yang mempunyai bobot paling rendah

MSB (MOST SIGNIIFCANT BIT) = digit ang mempunyai bobot nilai paling tinggi

1.1.1. Sistem Bilangan Biner                               

            Bilangan biner hanya memiliki dua digit saja , yaitu “ 0 ” dan “1” . sehingga bilangan biner merupakan bilangan yang memiliki radik terkecil. dengan menyusundigit yangterdiri dari 0 dan 1 tersebut dengan kaidah-kaidah berikut , maka kitadapat melakukan perhitungan seperti pada angka decimal biasa.

            keuntung dari digit yang hanya dua tersebut menjadikan bilangan ini dapat diwujudkan oleh besaran listrik. dalam besaran listrik digit 0 berarti tidak ada tegangan (0 sampai 2,5 volt) dan digit 1 berarti ada tegangan (2,5 sampai 5 volt).

untuk merubah bilangan biner ke bilangan Desimal maka dapat digunakan persamaan :

(N) r = d ₀ r ⁰+ d ₁ r ¹+d ₂ r²+ . . ..        persamaan (1.1)

untuk

                        N = nilai bilangan

                        d_x = digit ke. . . . dari bilangan tersebut

                        r^x = radik ke . . . . dari bilangan tersebut

            Persamaan tersebut berlaku secara umum untuk mengetahui nilai decimal ( bobot bilangan) dari berbagai bilangan dengan radik yang lain , dan berlaku untuk bilangan utuh / bulat BUKAN PECAHAN.

CONTOH :

Suatu bilangan biner 110101 yang akan dikonfersikan kedalam bentuk DESIMAL . bilangan tersebut dapat pula ditulis :

            (110101)₂                         (…………..) ₁₀

penyelsaian :     

MSB                   LSB       LSB                                      MSB

1    1   0   1   0   1           = (2⁰ )+( 2¹ )+( 2² )+( 2³ )+( 2⁴ )+( 2⁵ )

           = 1 + 0 + 4 + 0 +  16 +32

           =  (53)₁₀

1.1.2. Sistem Bilangan Heksadesimal

                Bilangan Heksadesimal mempunyai radik , r = 16 . ke-16 digit tersebut meliputi :

0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 , 7 , 8 , 9 , a , b , c ,d ,e , f. Huruf a sampai f menggantikan bilangan decimal 10 sampai 15 sehingga :

a  = 10

b  = 11

c  = 12

d = 13

e = 14

f = 15

                dengan menggunakan rumus N dapat diketahui nilai desimal dari suatu bilangan heksadesimal.

CONTOH :

1. Hitunglah nilai desimal dari (2b17e)₁₆

   (2b17e) ₁₆ = (e  16⁰) + (7  16¹) + (1  16²) +(b  16³) + (2  16⁴)

                      = e + 112 + 256 + (11  16³) + 131072

                      = 14 + 112+ 256 + 45056 + 131072

                      = (176510)₁₀

1.1.3. Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Radik lain

Pada umumnya mengubah bilangan desimal menjadi bilangan radik lain dapt dilakukan dengan pembagian yang terus-menerus , bilangan decimal tersebut dibagi dengan radik bilangan baru yang dikehendaki , sampai habis atau sampai hasilnya sama dengan nol.

Dengan demikian sisan bilangan hasil pembagian akan menjadi digit bilangan baru tersebut. Sisa pembagian digit pertama akan menjadi digit yang paling kanan atau LSD (Lead significant digit) sedangkan digit yang terakhir akan menjadi MSD (Most Significant Digit).

1.1.3. A. Merubah bilangan Desimal menjadi bilangan Biner atau sebaliknya

Contoh 1.3 :

1.  Bilangan Desimal kebilangan Biner

(23)₁₀  =  (. . . . . . .)₂

23 : 2 = 11    sisa 1         (MSB)

11 : 2 = 5      sisa 1

5 : 2 = 2       sisa 1

2 : 2 = 1       sisa 0

1 : 2 = 0       sisa 1             (LSB)

Jadi, (23)₁₀  =  (10111)₂

2. Bilangan Biner kebilangan Desimal

(10111)₂ = (. . . . . )₁₀

(10111)₂ = (1 2⁰) + (1 2¹) + (1 2²) + (0 2³) + (1 2⁴)

                                 = 1 + 2 + 4 + 0 + 16

                                 = 23

Jadi, (10111)₂ = (23)₁₀

1.1.3. B. Merubah bilangan desimal menjadi bilangan Oktal atau sebaliknya

1. Merubah bilangan Desimal menjadi Oktal?

(92)₁₀ = (. . . . . .)₈

92 : 8 = 11 sisa 4          (MSB)

11 : 8 = 1   sisa 3

1 : 8 = 0     sisa 1           (LSB)

Jadi, (92)₁₀ = (134)₈

2.  Bilangan oktal ke desimal ?

(134)₈ = (. . . . .)₁₀

(134)₈ = (4  8⁰) + (3  8¹) + (1  8²)

                            = 4 + 24 + 64

            = 92

Jadi, (134)₈ = (92)₁₀

1.1.3. C. Merubah bilangan desimal menjadi bilangan Duodesimal  atau sebaliknya

Contoh ;

1.       Merubah bilangan Desimal menjadi bilangan Duodesimal

(779)₁₀ = (. . . . .)₁₂

779 : 12 = 64 sisa 11 = e        (LSB)

64 : 12 = 5     sisa 4

5 : 12 = 0       sisa 5                 (MSB)

Jadi, (779)₁₀ =(54e)₁₂

2.       Merubah bilangan Duodesimal menjadi bilangan Desimal

(54e)₁₂ = (. . . . . )₁₀

(54e)₁₂ =(e 12⁰) + (4  12¹) + (5  12²)

             = e + 48 + 720

             = 11 + 48 + 720

            = 779

Jadi, (54e)₁₂ = (779)₁₀

1.1.3. D. Merubah bilangan Desimal menjadi bilangan Heksadesimal  atau sebaliknya

1. Merubah bilangan Desimal menjadi bilangan Heksadesimal

(341)₁₀ = (. . . . .)₁₆

341 : 16 = 21 sisa 5            (LSB)

21 : 16 = 1      sisa 5

1 : 16 = 0       sisa 1             (MSB)

Jadi, (341)₁₀ = (155)₁₆

2. Merubah bilangan Heksadesimal menjadi bilangan desimal

 (155)₁₆ = (. . . . .)₁₀

(155)₁₆ = (5 16⁰) + (5 16¹) + (1 16²)

             = 5 + 80 + 256

             = 341

Jadi, (155)₁₆ = (341)₁₀

1.1.3. E. Merubah bilangan Biner menjadi bilangan Heksadesimal  atau sebaliknya

1. Merubah bilangan Biner menjadi bilangan Heksadesimal 

Dalam mengubah bilangan biner  ke bilangan Heksadesimak terlebih dulu kita harus mengubah bilangan biner ke bilangan Desimal. Akan tetapi cara ini memakan banyak waktu, adapun cara lainnya adalah dengan cara pengelompokan bilangan biner terlebih dahulu masing-masing 4 bit(empat bit) mulai LSB.

Contoh :

(101011101010)₂ = (. . . . . . )₁₆

Jawab ;

1010  1110 1010 =   1010  1110 1010

(MSB)         (LSB)           a         e       a

  =(aea)₁₆

2.        Merubah bilangan Heksadesimal menjadi bilangan Biner

Kebalikan dari dari proses diatas, yaitu mengubah digit bilangan Heksadesimal menjadi 4 bit  kemudian disusun sesuai urutan semula.

Contoh ;

(37b)₁₆ = (. . . . .)₂

(          3             7                 b        ) = (001101111011)₂

     0011            0111        1011

Untuk mengecek benar atau salah kita ubah kebentuk desimal

(37b)₁₆ = ( b 16⁰ ) +  ( 7 16¹ ) +  ( 3 16² )

= 11 + 112 + 768

=(891)₁₀

(001101111011)₂ =  ( 1 2⁰ ) + ( 1 2¹ ) + ( 0 2² )+ ( 1 2³ ) + ( 1 2⁴ ) + ( 1 2⁵ ) + ( 1 2⁶ )+ ( 0 2⁷ ) +

       ( 1 2⁸ ) + ( 1 2⁹ ) + ( 0 2¹⁰ )+ ( 0 2¹¹ )

   = 1 + 2 + 0 + 8 + 16 +32 + 64 + 0 + 256 +512 + 0 + 0

   = (891)₁₀

Dari pembuktian diatas maka hasil dari (37b) = (001101111011)₂ adalah benar

1.1.4. Bilangan Biner Pecahan

                Untuk mencari bobot bilangan pecahan dilakukan sebagai berikut :

Misalnya bilangan pecahan (0,50)₁₀, bobotnya adalah :

0,55 = 55/100

         = 5/10 + 5/100

                         =  +

Bila digit 5 diganti dengan : , digit 5 diganti :  dan radik 10 = r, sehingga didapatkan persamaan bilangan pecahan dibelkang koam adalah

 

Apabila pada suatu bilangan terdiri dari bilangan bulat dan pecahan maka persamaan tersebut dapat digabungkan dengan persamaan N sehingga :

(N) r =

Keterangan :

 n = menunjukan digit yang keberapa dihitung dari satuan /d₀

d =digit yang digunakan

r = radik

                untuk mempermudah maka dilakukan pengerjaan pada masing-masing bilangan baik yang utuh bulat dan bagian pecahan dihitung tersendiri kemudian barulah disusun kembali.

Contoh :

Lakukan konfersi pada bilangn sebagai berikut

(33,25)₁₀ = (. . . . )₂

Jawab  :

Pada bilangan pecahan terdapat dua macam bilangan yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan. Untuk menyelsaikan haruslah dipisah terlebih dahulu.

Bagian bilangan bulat(33)

33 : 2 = 16  sisa 1

16 : 2 = 8    sisa 0

8 : 2 = 4      sisa 0

4 : 2 = 2      sisa 0

2: 2 = 1       sisa 0

1 : 2 = 0      sisa 1

MSB

Bagian bilangan pecahan (0,25)

0,25  2 = 0,50 dengan pembawa 0

0,50  2 = 1,00 dengan pembawa 1

LSB

Jadi hasilnya (33,25)₁₀ =  (100001,10)₂